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Definition Was ist ein Hilbertraum?

Von Laimingas 2 min Lesedauer

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Als Hilbertraum oder Hilbert-Raum wird ein vollständiger Vektorraum inklusive Skalarprodukt bezeichnet. In den allermeisten Applikationen ist die Dimension von Hilberträumen unendlich, sie kann aber durchaus auch endlich sein.

Grundlagenwissen zum IT-Business(Bild: © adiruch na chiangmai - Fotolia.com)
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Der Begriff geht zurück auf den deutschen Mathematiker David Hilbert (1862-1943), der als einer der bedeutendsten Vertreter seiner Zunft in der Neuzeit gilt. Er stellte 1900 auf einem internationalen Mathematikerkongress in Paris auch die bekannten 23 Hilbertschen Probleme auf. Von diesen sind bis heute noch drei Probleme ungelöst, acht teilweise und zwölf weitgehend gelöst. Darüber hinaus wurden zahlreiche mathematische Termini, Objekte und Sätze sowie ein Asteroid und ein Mondkrater nach ihm benannt.

Definition eines Hilbertraums

Ein Hilbertraum beschriebt einen vollständigen Raum inklusive einem inneren Produkt. Dieses Produkt ermöglicht es, Längen und Winkel exakt zu messen. In diesem Kontext ist ein Raum als eine Menge definiert, in der mathematische Objekte miteinander interagieren.

In diesem Zusammenhang ist festzuhalten, dass die Vollständigkeit von Räumen ein wichtiges Kriterium innerhalb der Mathematik darstellt. Vollständigkeit heißt, dass es keine unerreichbaren Punkte oder – salopp gesagt – „Löcher“ innerhalb des Raumes gibt, so dass eine mathematische Analyse sich stark vereinfachen lässt.

Einfacher Erklärungsversuch für einen Hilbertraum

Es ist nicht einfach, die Idee eines Hilbertraums zu verstehen. Um das Problem zu simplifizieren, kann man sich einen zweidimensionalen Raum vorstellen, zum Beispiel ein leeres Blatt Papier, auf das man Punkte einzeichnen kann. Jeder einzelne dieser Punkte lässt sich durch ein Zahlenpaar darstellen, das eine Koordinate ergibt.

Dieses Vorgehen ist in einem Hilbertraum ähnlich angelegt, beschränkt sich aber nicht gezwungenermaßen auf zwei Dimensionen. Hinzu kommt das Konzept des inneren Produktes, bei dem es sich um eine Generalisierung des üblichen Skalarproduktes handelt.

Hilberträume bieten die Möglichkeit, im Gegensatz zur alltäglichen Wahrnehmung von zwei- und dreidimensionalen Räumen auch unendlichdimensionale Räume zu bearbeiten.

Bedeutung des Hilbertraums für Mathematik und Physik

Der Hilbertraum spielt eine große Rolle in der Funktional-Analysis, vor allem für die Lösungstheorie von partiellen Differentialgleichungen. Dadurch wird er nicht nur zu einem unentbehrlichen Konzept für die Mathematik, sondern auch für die Physik, da er unendlich-dimensionale Vektorräume beschreibt, die mit einem Skalarprodukt versehen sind.

Diese Räume machen es möglich, komplexe Fragen der Quantenmechanik zu beantworten, wo die Zustandsräume von einzelnen Teilchen häufig als Hilberträume modelliert werden. So können reine Zustände in einem quantenmechanischen System mit Hilfe eines Vektors in einem Hilbertraum beschrieben werden. Hilberträume bilden im Hinblick auf die Funktion-Alanalysis eine besondere Klasse von Räumen mit speziellen und einfachen Strukturen.

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